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数学符号史

这个标题写的有点大,但实际上这篇文章只会介绍一些曾经困扰过我的数学符号,例如为何整数用Z表示、有理数集用Q表示?再有,π=3.14, e=2.718,这两个字母又是怎么来的?本文不会介绍数字的来历,例如中国数字、巴比伦数字、埃及数字、希腊数字、罗马数字、阿拉伯数字、玛雅数字,也不会介绍+和-这些基本运算符号的来历,因为这些数字和符号的历史太悠久了,至于是谁最先发明的,已经很难考证了。如果你对数学史感兴趣,推荐阅读《古今数学思想》和《数学符号史》。

N, Z and Q

初中的时候,老师说自然数用N表示,这个我可以理解,因为自然数的英文拼写是natural number,并且natural这个单词我们很早就学过了。可是整数和有理数分别用Z和Q表示,我就无法理解了,中学英语课似乎也没有学过以Z开头的表示“整”的单词,也没有学过以Q开头的表示“有理”的单词。后来实在没办法,我就自己想了一个记忆Z和Q这两个字母的方式。Z是汉语拼音zhĕng shù第一个字母的缩写,所以整数用Z表示。有理数表示有道理的,英文里学过question这个单词,爱问问题表示讲道理,所以有理数就用Q表示。直到今天,我才知道Z和Q这两个字母的真正来历。

Z是德语Zahlen的第一个字母,表示数数count的意思,英文里用integer表示整数。

Q是意大利语quoziente的第一个字母,英文意思是quotient,翻译成中文就是商的意思,因为任何一个有理数都可以表示为两个整数商的形式。英文中用rational number表示有理数,rational是合理的、理性的意思。

π

π表示圆周与直径的比,有时也记做pi。π是希腊文περιφέρεια的第一个字母,英文意思是circumference,翻译成中文是圆周、周长的意思。

e

e是自然对数的底数,被成为欧拉数(Euler’s number),有时也称作纳皮尔数(Napier’s number)。欧拉在1736年(又说1727或1728年)的一篇未发表的手稿《遗作》中首先引用记号”e”。早在1731年,欧拉在给德国数学家,至今全球闻名的“哥德巴赫猜想”中的哥德巴赫的信时就提出用e表示自然数对数的底。这篇手稿在100多年后的1862年才正式发表。以后出版的《力学》第一卷及其他文章中也如此表示。

可是欧拉为何要用e来表示自然对数的底数呢?难道是因为欧拉名字以E开头?

Σ

自从小学看奥林匹克数学竞赛的书时,我就知道连续求和可以用Σ简化表示,例如:\(\sum\limits_{k=1}^n k=1+2+3+...+n\),但之前我从来没想过为啥求和要用这么一个怪异的符号。《数学符号史》中说:

它是源于希腊文σογΜαρω(增加)的头一个字母,Σ是σ的大写,读作西格玛即sigma。这个求和符号Σ是1755年瑞士数学家欧拉在《微分学原理》中首先使用的。

但这一单词的拼写似乎有问题,中间用了一个大写的Μ,而其它字母都是小写的,并且也无法Google到这个单词。根据Wikipedia,Σ表示法的英文说法Capital-sigma notation,也叫做Einstein notation,这又跟爱因斯坦扯上了关系。

在英文中,加法叫做summation,第一个字母是s,而希腊语中与大写S对应的字母刚好是Σ,这也许算是对Σ的另外一种解释吧。

Δ

不知道大家是否还记得以下公式:\(\Delta=b^2-4ac\),Δ是一元二次方程:\(ax^2+bx+c=0 (a\ne0)\)的根的判别式,是希腊文Διακρίνουσα第一个字母的缩写,英文意思是discriminant。

Δx

《数学符号史》说“变量x的改变量或称增量用Δx表示。如x+Δx中表示x增加了Δx。这个记号是瑞士数学家欧拉在1775年创立的。”,How to Ace Calculus这本书上说是牛顿发明的。我又搜搜了一下Wikipedia,我们看看下面这个等式:\(dy \over dx}=f^\prime=\dot{y}=Df\)

Wikipedia说这个等式中的四部分分别是Leibniz’s notation, Lagrange’s notation, Newton’s notation, Euler’s notation,但没也有明确说Δx到底是谁最先使用的。但里面有一句话值得我们关注:

Leibniz uses the symbols dx and dy to represent “infinitely small” (or infinitesimal) increments of x and y, just as Δx and Δy represent finite increments of x and y. (Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.)

也许在后面提到的这本书中我们能找到更多线索。